Ensembles finis Exemples

$\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x} = 81^{x^{2} - 2}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Étape 2

Réécrivez $\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x})$ comme $\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x})$ .

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{1}{27^{2 x}})$ comme $\ln (1) - \ln (27^{2 x})$ .

$\ln (1) - \ln (27^{2 x}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Étape 4

Développez $\ln (27^{2 x})$ en déplaçant $2 x$ hors du logarithme.

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Étape 5

Développez $\ln (3^{- 2 x})$ en déplaçant $- 2 x$ hors du logarithme.

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Étape 6

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$0 - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Étape 7

Soustrayez $2 x \ln (27)$ de $0$ .

$- (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Étape 8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Étape 9

Supprimez les parenthèses.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

Étape 10

Développez $\ln (81^{x^{2} - 2})$ en déplaçant $x^{2} - 2$ hors du logarithme.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = (x^{2} - 2) \ln (81)$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Étape 11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.1

Simplifiez $- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3)$ .

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Étape 11.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (27)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x (- \ln (27^{2})) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Étape 11.2.1.1.2

Élevez $27$ à la puissance $2$ .

$x (- \ln (729)) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Étape 11.2.1.1.3

Simplifiez $- 2 \ln (3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (3^{2})) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Étape 11.2.1.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (9)) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Étape 11.2.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x (- \ln (729)) + x (- \ln (9))$ .

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (81)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (81^{2})$

Étape 11.3.1.2

Élevez $81$ à la puissance $2$ .

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (6561)$

Étape 11.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- x \ln (729) - x \ln (9) - x^{2} \ln (81) + \ln (6561) = 0$

Étape 11.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 11.6

Remplacez les valeurs $a = - \ln (81)$ , $b = - \ln (729) - \ln (9)$ et $c = \ln (6561)$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- (- \ln (729) - \ln (9)) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- \ln (81) \cdot \ln (6561))}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7

Simplifiez

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Étape 11.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.2

Multipliez $- - \ln (729)$ .

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Étape 11.7.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{1 \ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.2.2

Multipliez $\ln (729)$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.3

Multipliez $- - \ln (9)$ .

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Étape 11.7.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + 1 \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.3.2

Multipliez $\ln (9)$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.4

Réécrivez ${(- \ln (729) - \ln (9))}^{2}$ comme $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.5

Développez $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.7.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729) - \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.7.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.7.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.2

Multipliez $\ln (729)$ par $\ln (729)$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.7.1.6.1.2.1

Déplacez $\ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (\ln (729) \ln (729))) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.2.2

Multipliez $\ln (729)$ par $\ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.4

Multipliez $\ln^{2} (729)$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 1 \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.7

Multipliez $\ln (729)$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + 1 \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.10

Multipliez $\ln (9)$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.12

Multipliez $\ln (9)$ par $\ln (9)$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.7.1.6.1.12.1

Déplacez $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 (\ln (9) \ln (9))) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.12.2

Multipliez $\ln (9)$ par $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + 1 \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.1.14

Multipliez $\ln^{2} (9)$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.2

Additionnez $\ln (729) \ln (9)$ et $\ln (9) \ln (729)$ .

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Étape 11.7.1.6.2.1

Remettez dans l’ordre $\ln (729)$ et $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.6.2.2

Additionnez $\ln (9) \ln (729)$ et $\ln (9) \ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.1.7

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

Étape 11.7.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{- 2 \ln (81)}$

Étape 11.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

Étape 11.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) + \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}, - \frac{\ln (729) + \ln (9) - \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

Forme décimale :

$x = - 2.73205080 \dots, 0.73205080 \dots$